Создание параболического зеркала для радиотелескопа

В рамках разработки радиотелескопа мы рассмотрим теорию парабол, объясняя её простыми словами. Данный материал был подготовлен с помощью помощников, так как я не обладаю достаточными математическими знаниями для его самостоятельного написания.

Понимание параболы

Для создания параболы необходимо определить прямую (A, B), называемую директрисой, и фокус (C). Директрисa перпендикулярна лучам, которые мы хотим наблюдать, и указывает в сторону источника.

Существует правило: длины отрезков EC и ED должны быть равны. Это и есть определение параболы.

Согласно этому правилу, все входящие в параболу лучи (обозначенные зеленым) будут направлены к фокусу.

Определение параболы с центрированным приемником

В данной конструкции антенна имеет центрированный приемник. Это парабола в конфигурации prime focus, что упрощает расчеты.

Начнем с 2D

Для примера выберем фокус на расстоянии 4 метра от центра параболы, то есть (0, 4). Директрису расположим на расстоянии -4 метра. Директрисa — это прямая (в 2D или плоскость в 3D), которая должна быть перпендикулярна лучам, которые мы хотим принимать. Обозначим её как d.

Как уже упоминалось, мы хотим, чтобы ED = EC, поэтому воспользуемся формулой расстояния, основанной на теореме Пифагора:

(x1–x2)² + (y1–y2)²

где (x1, y1) — точка на параболе, а (x2, y2) — фокус.

Расстояние EC равно:

(x – 0)² + (y – 4)²

ED всегда перпендикулярна директрисе, поскольку она направлена к источнику, который должна захватывать парабола. Таким образом, x исключается из формулы для ED.

ED =

(y – (–4))²

Теперь у нас есть EC и ED, но нам нужно найти y в зависимости от x, при условии, что EC = ED:

(y – (–4))² = (x – 0)² + (y – 4)²

Упрощаем:

(y + 4)² = x² + (y – 4)² y² + 8y + 16 = x² + y² – 8y + 16

16y = x² y = x²/16

С помощью этой формулы можно определить точки параболы при фокусе на 4 метрах.

Теперь в 3D

С фокусом в (0, 4, 0):

(y – (–4))² = (x – (0))² + (y – 4)² + (z – 0)² y² + 8y + 16 = x² + y² – 8y + 16 + z² y = (z² + x²)/16

Например, для точки параболы в (1,1) m = 0,125 m = 12,5 cm.

Таким образом, точка параболы на 1 м сбоку и 1 м в высоту будет находиться на расстоянии 12,5 см от синего плана.

Определение параболы с несцентрированным приемником и наклонной директрисой

В данном телескопе приемник смещен от центра. Это конфигурация offset.

Расчеты немного сложнее, но принцип остается тем же.

Начнем с 2D:

При фокусе в (10, 20) определим уравнение директрисы:

y = ax + b

a = (y1 – y2)/(x1 – x2) и b = y2 – ax2.

С точками A(-15, -10) и B(10, -5):

a = (–10 – (–5))/(–15 – 10) a = –5/–25 a = 0,2

b = –5 – (0,2 * 10) b = –7

Таким образом, уравнение прямой: y = 0,2x – 7

Теперь вернемся к уравнению параболы:

(y – (0.2x – 7) + 0.2x – 75)² + (y – (0.2(y – (0.2x – 7) + 0.2x – 75) + x) – 7))² = (x – 10)² + (y – 20)²

Изолируем y с помощью Wolfram: y = 512 (–12x – 25×2 + 2177 – 30x + 1670)

в 3D:

(y – (0.2x – 7) + 0.2x – 75)² + (y – (0.2(y – (0.2x – 7) + 0.2x – 75) + x) – 7))² + (y – (0.2(y – (0.2z – 7) + 0.2z – 75) + z) – 7))² = z² + (x – 10)² + (y – 20)²

Wolfram:

–0.96x² – 0.384xy + 17.2x + 0.8832y² – 0.384yz + 66.88y – 0.96z² – 2.8z – 402 = 0

после чего:

–0.96x² + 17.2x – 0.96z² – 2.8z – 402 = y(0.96x + 0.96z + 17.2) – 0.384y²

Небольшой скрипт на Python позволит получить координаты для построения отражателя.